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第一节 货币时间价值
二、货币时间价值的计算
（ 2 ）递延年金现值
方法 1 ：两次折现。
递延年金现值 P= A ×（ P/A, i, n ）×（ P/F, i, m ）
递延期 m （第一次有收支的前一期），连续收支期 n
方法 2 ：先加上后减去。
递延年金现值 P=A ×（ P/A ， i ， m+n ） -A ×（ P/A ， i ， m ）
P31 【教材例 2-9 】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为 10%, 每年复利一次。银行规定前 10 年不用还本付息，但从第 11 年至第 20 年每年年末偿还本息 5 000 元。
要求：用两种方法计算这笔款项的现值。
【解答】
方法一：
P=A ×（ P/A,10%,10 ）×（ P/F,10%,10% ）
=5000 × 6.1446 × 0.3855=11843.72 （元）
方法二：
P=A × [ （ P/A,10%,20 ） - （ P/A,10%,10% ） ]
=5000 ×（ 8.5136-6.1446 ） =11845 （元）
P32 【教材例 2-10 】某公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：
（ 1 ）从现在起，每年年初支付 200 万元，连续付 10 次，共 2000 万元。
（ 2 ）从第 5 年开始，每年年初支付 250 万元，连续支付 10 次，共 2500 万元。
假设该公司的资本成本率（即最低报酬率）为 10% ，你认为该公司应选择哪个方案？
【解析】
方案 1 ：
P0=200 ×（ P/A ， 10% ， 10 ） ×（ 1+10% ）
或 =200+200 ×（ P/A ， 10% ， 9 ）
=200+200 × 5.7590=1351.81 （万元）
方案 2 ：
P=250 ×（ P/A ， 10% ， 13 ） - 250 ×（ P/A ， 10% ， 3 ）
=250 ×（ 7.1034-2.4869 ） =1154.13 （万元）
或： P=250 ×（ P/A ， 10% ， 10 ）×（ P/F ， 10% ， 3 ）
现值最小的为方案二，该公司应该选择第二方案。
3. 永续年金
² （ 1 ）终值：没有
² （ 2 ）现值：
P=A × =A/i
P32 【教材例 2-11 】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖藉所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各 10 000 元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为 2% 。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金？
【答案】
PA=20000/2% =1000000 ( 元）
【扩展 1 】非标准永续年金
【例题 4 ·计算题】某公司预计最近两年不发放股利，预计从第三年开始每年年末支付每股 0.5 元的股利，假设折现率为 10% ，则现值为多少？
【答案】
P= （ 0.5/10% ）×（ P/F ， 10% ， 2 ） =4.132 （元）
【扩展 2 】混合现金流计算
【例题 5 ·计算题】若存在以下现金流，若按 10% 贴现，则现值是多少？
【答案】
P=600 ×（ P/A ， 10% ， 2 ） +400 ×（ P/A ， 10% ， 2 ）×（ P/F ， 10% ， 2 ） +100 ×（ P/F ， 10% ， 5 ） =1677.08
P28 【教材例 2-4 】 A 矿业公司决定将其一处矿产 10 年开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第 1 年开始，每年年末向 A 公司交纳 10 亿美元的开采费，直到 10 年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给 A 公司 40 亿美元，在 8 年末再付给 60 亿美元。如 A 公司要求的年投资回报率达到 15% ，问应接受哪个公司的投标？
【解答】
甲公司方案终值：
F=A ×（ F/A ， 15% ， 10 ） =10 × 20.304=203.04 （亿美元）
乙公司方案终值：
第 1 笔收款（ 40 亿美元）的终值 =40 ×（ 1+15% ） 10
=40 × 4.0456=161.824 （亿美元）
第 2 笔收款（ 60 亿美元）的终值 =60 ×（ 1+15% ） 2
=60 × 1.3225=79.35 （亿美元）
终值合计 l61.824+79.35=241.174 （亿美元）
因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。
或：现值比较
甲公司的方案现值 P=A ×（ P/A ， 15% ， 10 ） =10 × 5.0188=50.188 （亿美元）
乙公司的方案现值 P=40+60 ×（ P/F ， 15% ， 8 ） =40+60 × 0.3269=59.614 （亿美元）
因此，甲公司付出的款项现值小于乙公司付出的款项的现值，应接受乙公司的投标。
三、利率的计算
（一）插值法的应用
P34 【教材例 2-14 】郑先生下岗获得 50000 元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。郑先生预计，如果 20 年后这笔款项连本带利达到 250000 元，那就可以解决自己的养老问題。问银行存款的年利率为多少，郑先生的预计才能变成现实？
【解答】
50000 ×（ F/P,i,20 ） =250000
（ F/P,i,20 ） =5
即：（ 1+i ） 20 =5
或用插值法：
（ i-8% ） / （ 9%-8% ） = （ 5-4.6610 ） / （ 5.6044-4.6610 ）
i=8.36%
【例题 6 •计算题】某人投资 10 万元，预计每年可获得 25000 元的回报，若项目的寿命期为 5 年，则投资回报率为多少？
【答案】
10=2.5 ×（ P/A,I,5 ）
（ P/A,I,5 ） =4
（ I-7% ） / （ 8%-7% ） = （ 4-4.1002 ） / （ 3.9927-4.1002 ）
I=7.93%
【提示】永续年金的利率可以通过公式 i= A/P 计算
P36 【例 2-17 】若【例 2-11 】中，吴先生存入 1 000 000 元，奖励每年高考的文 , 理科状元各 10 000 元，奖学金每年发放一次。问银行存款年利率为多少时才可以设定成永久性奖励基金？
【解答】
i =20000/1000000 = 2%
（二）名义利率与实际利率
1. —年多次计息时的名义利率与实际利率
【例题 7 •计算题】 A 公司平价发行一种一年期，票面利率为 6% ，每年付息一次，到期还本的债券； B 公司平价发行一种一年期，票面利率为 6% ，每半年付息一次，到期还本的债券。计算两种债券的实际利率。
（ 1 ）换算公式
² 名义利率（ r ）
² 周期利率 = 名义利率 / 年内计息次数
= r / m
² 实际利率 = 实际年利息 / 本金
=
= （ 1+ r / m ） m -1
【结论】
当每年计息一次时：实际利率 = 名义利率
当每年计息多次时：实际利率 > 名义利率
【例题 7 •计算题】 A 公司平价发行一种一年期，票面利率为 6% ，每年付息一次，到期还本的债券； B 公司平价发行一种一年期，票面利率为 6% ，每半年付息一次，到期还本的债券。计算两种债券的实际利率。
【答案】
（ 1 ） iA 实 =6%
（ 2 ） iB 实 = （ 1+3% ） 2 -1=6.09%
【教材例 2-18 】年利率为 12% ，按季复利计息，试求实际利率。
【解答】
i= （ 1+r/m ） m -1= （ 1+12%/4 ） 4 -1=12.55%
（ 2 ）计算终值或现值时
基本公式不变，只要将年利率调整为计息期利率（ r/m ），将年数调整为期数即可。
【例题 8 ·单选题】某企业于年初存入银行 10000 元，假定年利率为 12% ，每年复利两次。已知（ F/P ， 6% ， 5 ） =1.3382 ，（ F/P ， 6% ， 10 ） =1.7908 ，（ F/P ， 12% ， 5 ） =1.7623 ，（ F/P ， 12% ， 10 ） =3.1058 ，则第 5 年末的本利和为（ ）元。
A.13382 B.17623 C.17908 D.31058
【答案】 C
【解析】第 5 年末的本利和 =10000 ×（ F/P,6%,10 ） =17908 （元）
2. 通货膨胀情况下的名义利率与实际利率
（ 1 ）含义
名义利率：是央行或其他提供资金借贷的机构所公布的未调整通货膨胀因素的利率，即指包括补偿通货膨胀（包括通货紧缩）风险的利率。
实际利率：是指剔除通货膨胀率后储户或投资者得到利息回报的真实利率。
（ 2 ）换算公式
1+ 名义利率 = （ 1+ 实际利率）×（ 1+ 通货膨胀率）
实际利率 = （ 1+ 名义利率） / （ 1+ 通货膨胀率） -1
P36 【例 2-19 】 2012 年我国商业银行一年期存款年利率为 3%, 假设通货膨胀率为 2% ，则实际利率为多少？
【解答】
实际利率 = （ 1+3% ） / （ 1+2% ） -1=0. 98%
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